Ecuación de la recta

La ecuación se determina a partir de la pendiente de la recta y algunas condiciones.

Cuando se conoce la pendiente y el intercepto con el eje y:

La grafica de una función afín es una recta cuya pendiente es m y cuyo punto de intersección don el eje y es (0, b).
La función afín es creciente si m ˃0, decreciente si m˂0.
La ecuación y=mx+b se denomina ecuación canónica/explicita de la recta, en donde m es la pendiente y b es el valor donde la recta corta el eje y.

Ejemplo:
Representar esta ecuación gráficamente: y= -3/4+2
m= -3/4
b= 2

Primero ubicas b en este caso es 2 y después se halla el otro punto con la pendiente si el numerador es pos (+) se mueven el número de unidades que dice hacia arriba y si es neg (-) se mueve hacia abajo en este caso el numerado es -3, y con el denominador se mueven el número de unidades hacia la derecha en este caso 4, nunca a la izquierda porque el denominador no puede ser negativo.



Ecuación de la recta cuando se conoce un punto y la pendiente:

Se puede denominar a través de un punto que pertenece a ella y su pendiente.

Si la recta pasa por el punto p(x₁, y₁), y su pendiente es m, entonces la ecuación se determina:

-Se toma Q(x, y) cualquier otro punto de la recta, tal que x ≠ x₁
entonces m = y-y₁/x-x₁, luego y-y₁=m(x-x₁).


Pendiente m que pasa por un punto: y - y₁=m(x - x₁)

Ejemplo:
m=2/3
Punto= (-1, 3)
Y – 3= 2/3(x-(-1)) = y-3= 2/3x + 2/3 = y= 2/3x + 2/3 + 3 = y=2/3 + 11/3

La ecuación de la recta: Y=2/3x + 11/3


Ecuación de la recta cuando se conocen dos puntos:
Por dos puntos pasa una única recta, determinar la ecuación por las coordenadas de los dos puntos P(x₁, y₁) y Q(x₂, y₂).
- Se halla la pendiente remplazando los puntos en la expresión m= y-y₁/x-x₁

- Luego se despeja y en la ecuación y – y₁ = m(x - x₁)

Ejemplo:

Puntos: P(-2, 3) y Q(1, 4)

m= 3-4/-2-1 = -1/-3 = 1/3

Se despeja y:

Y – 3=1/3(x – (-2))
Y= 1/3x + 2/3 + 3
Y= 1/3x + 11/3 ---- La ecuación de la recta que pasa por los puntos P(x₁,y₁) y Q(x₂, y₂).


Ecuación general de la recta

Es de la forma Ax + By + C = 0, donde A, B y C son números reales.
De la ecuación general se puede despejar y de tal manera que se puede determinar su ecuación explicita/canónica:
Ax + By + C = 0 ------- se despeja y
By= -Ax – C
Y= -Ax/B - C/B

Para la recta que tiene como ecuación Ax + By + C = 0, la pendiente es -Ax/B y él y-intercepto es -C/B.



Posiciones relativas de dos rectas en el plano

En el plano cartesiano dos rectas pueden ser coincidentes, paralelas, secantes o perpendiculares.

Rectas coincidentes:
Dos rectas con ecuaciones generales de Ax + By+ C= 0 y A’x + B’y + C’= 0 son coincidentes si los coeficientes de las rectas son proporcionales
A/A, B/B, C/C= k (constante)
Ejemplo: 2x + 3Y -6=0 Y 4x +6y -12=0
2/4, 3/6, 6/12

Rectas paralelas:
Dos rectas son paralelas si no tienen puntos en común y tienen la misma dirección. Si L1 y L2 son rectas con pendientes M1 Y M2 son paralelas si M1=M2.
Para determinar si dos rectas con ecuaciones 3x +2y-1=0 y 3x + 2y +6=0 se despeja Y en las ecuaciones.
Y=-3/2x +1/2 m1= -3/2
Y=-3/2x-3 m2=-3/2

Las rectas no son coincidentes porque cortan el eje y en (0,1/2) y (0,3)