La Hiperbola

Lugar geométrico de los puntos del plano tal que la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos (focos) es constante.
El punto P(X,Y) pertenece a la hipérbola si d(P,F1)-d(P,F2)=2a y a es un real positivo.

Ecuación canónica de la hipérbola con centro (0,0)

Eje focal x
Los focos F1 Y F2 están sobre el eje X, el centro es 0, por lo que las coordenadas son F1 (-c, 0) y F2(c, 0)
Los vértices V1 (-a, 0) y V2 (a, 0)
Ecuación canónica: X2/ a2 – Y2/ b2 = 1
C > A
Asíntotas son: y= (b/a) x; y= (-b/a) x

C2= A2 + B2
B2 = C2 – A2

Eje focal Y
Ecuación canónica: X2/b2 – Y2/a2
C < A Asíntotas son: X= (b/a) y; X= (-b/a) y * La excentricidad se define como c/a

Ecuación de la hiperbola C(h,k)

(x-h)^2/a^2 -- (y-k)^2/b^2 = 1

Nota: donde esta (a)^2 mayor denominador es donde se abre la hiperbola
B^2 = C^2 -- A^2

Ejemplos:
a) (x-h)^2/25 -- (y-k)^2/9
b) (x-h)^2/9 -- (y-k)^2/25

Los vértices están a una distancia de (a) unidades del centro y los focos a una distancia de (c) unidades del centro.

Eje x
-Centro (h,k)
-Vertice mayor V1(h-a,k) V2(h+a,k)
-Vertice menor B1(h,k-b) B2(h,k+b)
-Focos F1(h-c,k) F2(h+c,k)

Eje y
-centro (h,k)
-vertice mayor V1(h,k-a) V2(h,k+a)
-vertice menor B1(h-b,k) B2(h+b,k)
-Focos F1(h,k-c) F2(h,k+c)

Una ayuda importante para trazar la gráfica de una hipérbola son sus asíntotas. Toda hipérbola tiene dos asíntotas que se intersecan en su centro y pasan por los vértices de un rectángulo de dimensiones 2a y 2b y centro (h,k). El segmento recto de la longitud 2b que une (h,k+b), (h,k-b) se llama eje conjugado de la hiperbola. el siguiente teorema identifica la ecuacion de las asintotas.

Eje x: y=k mas o menos b/a.(x-h)
Eje y: y=k mas o menos a/b.(x-h)

La excentricidad de una hiperbola esta dada por el cociente e=c/a
Si la excentricidad es grande los focos están cerca del centro y las ramas de la hipérbola son casi rectas verticales. Si la excentricidad es cercana a uno los focos están lejos del centro y las ramas de la hipérbola son más puntiagudas.


Ecuación general de la hiperbola

Se puede determinar a partir de la ecuación canónica:
(x-h)^2 / a^2 – (y-k)^2 / b^2 = 1
b^2.(x-h)^2 -- a^2.(y-k)^2 = a^2.b^2
b^.(x^2-2xh+h^2) - a^2.(y^2-2yk+k^2) = a^2.b^2
b^2.x^2-2b^2xh+b^2.h^2-a^2.y^2+2a^2yk-a^2.k^2 = a^2.b^2
b^2.x^2-2b^2xh+b^2.h^2-a^2.y^2+2a^2yk-a^2.k^2-a^2.b^2
Ax^2 + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0

Eje x
A=b^2
C=a^2
D=-2b^2h
E=2a^2k
F=b^2.h^2 - a^2.k^2 - a^2.b^2

Eje y:
A=a^2
C=b^2
D=-2a^2h
E=2b^2k
F=a^2.h^2 + b^2.k^2 - a^2.b^2