viernes, 25 de febrero de 2011
martes, 22 de febrero de 2011
Rectas secantes:
Las rectas son secantes cuando se cortan en un solo punto.
Dos rectas con ecuaciones generales de Ax+By+C=0 y A’x + B’y + C’= 0 son secantes si los coeficientes de las dos rectas no son proporcionales A/A ≠ B/B.
Cuando dos rectas son secantes, las pendientes son distintas y es posible determinar la medida del ángulo que forman.
Ángulo entre dos rectas secantes:
Las rectas secantes forman un ángulo en su intersección. Se encuentra a partir de las pendientes de cada recta.
Sean L1 y L2 dos rectas con ángulos de inclinación θ1 y θ2.
Por definición se tiene que m1= tan θ1 y m2= tan θ2 son las pendientes de cada recta
El ángulo θ = θ1- θ2 medido en dirección contraria a las manecillas del reloj y se denomina el ángulo que va de l1 a l2.
Se cumple que:
tan θ= tan(θ1- θ2) = tan θ1-tan θ2/ 1+tan θ1+tan θ2 = m1-m2/1+m1m2.
Por lo tanto para el ángulo θ formado por las rectas L1 Y L2 con pendientes M1 Y M2 se cumple que tan θ = m1-m2/1+m1m2.
Ejemplo: si hay que determinar el ángulo entre las rectas con ecuaciones 3x+2y=5 y 2x-2y=3 se hallan las pendientes
Y= -3/2x + 5/2 m1= -3/2
Y= x- 3/2 m2= 1
M1= -3/2 M2= 1
tan θ = -3/2 -1 / 1+(-3/2)(1)
tan θ= -5/2 / 1-3/2
tan θ = -5/2 / -1/2
tan θ= 5
θ= 78º41’24”
Rectas perpendiculares:
Dos rectas l1 y l2 son perpendiculares si se interceptan y forman un ángulo de 90º.
Como tan90º no está definida, para tan90º = m1-m2 / 1+m1m2 el denominador debe ser 0, por lo tanto 1+ m1m2= 0, m1m2= -1
Dos rectas L1 y L2 con M1 y M2 son perpendiculares solo si m1m2= -1
Por ejemplo, las rectas y= 2x + 3y y y= -1/2x-5 son perpendiculares ya que sus pendientes son 2 y -1/2 y al multiplicarlas su producto da -1.
Distancia entre un punto y una recta:
La distancia de un punto P(Xo,Yo) a la recta L: Ax+ By + C= O se expresa con la fórmula d(P,L) = AXo+ BYo+ C / √(a^2+b^2 )
Por ejemplo, la distancia entre el punto P(1,2) a la recta L( 2x-y +1=0) está dada por:
D(P,L)= 2(1) +(-1)(2)+1 / √(2^2+〖(-1)〗^2 ) = √5 / 5.
Por lo tanto, la distancia del punto P(1, 2) a la recta L: 2x – y + 1 = 0 es: √5 / 5.
Distancia entre dos rectas
Se debe tener en cuenta:
- Si las rectas son coincidentes o secantes, la distancia entre ellas es 0.
- Si las rectas son paralelas la distancia entre ellas es la distancia desde un punto sobre una de las rectas a la otra recta.
Ejemplo:
La distancia entre las rectas 5x + 3y – 2 = 0 y 5x + 3y + 1 = 0, se determina tomando un punto de la primera recta (1, - 1) y calculando la distancia de este a la segunda recta.
D(P, L) = (5(1) + 3(-1) + 1) / √(5^2+3^2 )= 3√34 / 34
Las rectas son secantes cuando se cortan en un solo punto.
Dos rectas con ecuaciones generales de Ax+By+C=0 y A’x + B’y + C’= 0 son secantes si los coeficientes de las dos rectas no son proporcionales A/A ≠ B/B.
Cuando dos rectas son secantes, las pendientes son distintas y es posible determinar la medida del ángulo que forman.
Ángulo entre dos rectas secantes:
Las rectas secantes forman un ángulo en su intersección. Se encuentra a partir de las pendientes de cada recta.
Sean L1 y L2 dos rectas con ángulos de inclinación θ1 y θ2.
Por definición se tiene que m1= tan θ1 y m2= tan θ2 son las pendientes de cada recta
El ángulo θ = θ1- θ2 medido en dirección contraria a las manecillas del reloj y se denomina el ángulo que va de l1 a l2.
Se cumple que:
tan θ= tan(θ1- θ2) = tan θ1-tan θ2/ 1+tan θ1+tan θ2 = m1-m2/1+m1m2.
Por lo tanto para el ángulo θ formado por las rectas L1 Y L2 con pendientes M1 Y M2 se cumple que tan θ = m1-m2/1+m1m2.
Ejemplo: si hay que determinar el ángulo entre las rectas con ecuaciones 3x+2y=5 y 2x-2y=3 se hallan las pendientes
Y= -3/2x + 5/2 m1= -3/2
Y= x- 3/2 m2= 1
M1= -3/2 M2= 1
tan θ = -3/2 -1 / 1+(-3/2)(1)
tan θ= -5/2 / 1-3/2
tan θ = -5/2 / -1/2
tan θ= 5
θ= 78º41’24”
Rectas perpendiculares:
Dos rectas l1 y l2 son perpendiculares si se interceptan y forman un ángulo de 90º.
Como tan90º no está definida, para tan90º = m1-m2 / 1+m1m2 el denominador debe ser 0, por lo tanto 1+ m1m2= 0, m1m2= -1
Dos rectas L1 y L2 con M1 y M2 son perpendiculares solo si m1m2= -1
Por ejemplo, las rectas y= 2x + 3y y y= -1/2x-5 son perpendiculares ya que sus pendientes son 2 y -1/2 y al multiplicarlas su producto da -1.
Distancia entre un punto y una recta:
La distancia de un punto P(Xo,Yo) a la recta L: Ax+ By + C= O se expresa con la fórmula d(P,L) = AXo+ BYo+ C / √(a^2+b^2 )
Por ejemplo, la distancia entre el punto P(1,2) a la recta L( 2x-y +1=0) está dada por:
D(P,L)= 2(1) +(-1)(2)+1 / √(2^2+〖(-1)〗^2 ) = √5 / 5.
Por lo tanto, la distancia del punto P(1, 2) a la recta L: 2x – y + 1 = 0 es: √5 / 5.
Distancia entre dos rectas
Se debe tener en cuenta:
- Si las rectas son coincidentes o secantes, la distancia entre ellas es 0.
- Si las rectas son paralelas la distancia entre ellas es la distancia desde un punto sobre una de las rectas a la otra recta.
Ejemplo:
La distancia entre las rectas 5x + 3y – 2 = 0 y 5x + 3y + 1 = 0, se determina tomando un punto de la primera recta (1, - 1) y calculando la distancia de este a la segunda recta.
D(P, L) = (5(1) + 3(-1) + 1) / √(5^2+3^2 )= 3√34 / 34
Ecuación de la recta
La ecuación se determina a partir de la pendiente de la recta y algunas condiciones.
Cuando se conoce la pendiente y el intercepto con el eje y:
La grafica de una función afín es una recta cuya pendiente es m y cuyo punto de intersección don el eje y es (0, b).
La función afín es creciente si m ˃0, decreciente si m˂0.
La ecuación y=mx+b se denomina ecuación canónica/explicita de la recta, en donde m es la pendiente y b es el valor donde la recta corta el eje y.
Ejemplo:
Representar esta ecuación gráficamente: y= -3/4+2
m= -3/4
b= 2
Primero ubicas b en este caso es 2 y después se halla el otro punto con la pendiente si el numerador es pos (+) se mueven el número de unidades que dice hacia arriba y si es neg (-) se mueve hacia abajo en este caso el numerado es -3, y con el denominador se mueven el número de unidades hacia la derecha en este caso 4, nunca a la izquierda porque el denominador no puede ser negativo.
Ecuación de la recta cuando se conoce un punto y la pendiente:
Se puede denominar a través de un punto que pertenece a ella y su pendiente.
Si la recta pasa por el punto p(x₁, y₁), y su pendiente es m, entonces la ecuación se determina:
-Se toma Q(x, y) cualquier otro punto de la recta, tal que x ≠ x₁
entonces m = y-y₁/x-x₁, luego y-y₁=m(x-x₁).
Pendiente m que pasa por un punto: y - y₁=m(x - x₁)
Ejemplo:
m=2/3
Punto= (-1, 3)
Y – 3= 2/3(x-(-1)) = y-3= 2/3x + 2/3 = y= 2/3x + 2/3 + 3 = y=2/3 + 11/3
La ecuación de la recta: Y=2/3x + 11/3
Ecuación de la recta cuando se conocen dos puntos:
Por dos puntos pasa una única recta, determinar la ecuación por las coordenadas de los dos puntos P(x₁, y₁) y Q(x₂, y₂).
- Se halla la pendiente remplazando los puntos en la expresión m= y-y₁/x-x₁
- Luego se despeja y en la ecuación y – y₁ = m(x - x₁)
Ejemplo:
Puntos: P(-2, 3) y Q(1, 4)
m= 3-4/-2-1 = -1/-3 = 1/3
Se despeja y:
Y – 3=1/3(x – (-2))
Y= 1/3x + 2/3 + 3
Y= 1/3x + 11/3 ---- La ecuación de la recta que pasa por los puntos P(x₁,y₁) y Q(x₂, y₂).
Ecuación general de la recta
Es de la forma Ax + By + C = 0, donde A, B y C son números reales.
De la ecuación general se puede despejar y de tal manera que se puede determinar su ecuación explicita/canónica:
Ax + By + C = 0 ------- se despeja y
By= -Ax – C
Y= -Ax/B - C/B
Para la recta que tiene como ecuación Ax + By + C = 0, la pendiente es -Ax/B y él y-intercepto es -C/B.
Posiciones relativas de dos rectas en el plano
En el plano cartesiano dos rectas pueden ser coincidentes, paralelas, secantes o perpendiculares.
Rectas coincidentes:
Dos rectas con ecuaciones generales de Ax + By+ C= 0 y A’x + B’y + C’= 0 son coincidentes si los coeficientes de las rectas son proporcionales
A/A, B/B, C/C= k (constante)
Ejemplo: 2x + 3Y -6=0 Y 4x +6y -12=0
2/4, 3/6, 6/12
Rectas paralelas:
Dos rectas son paralelas si no tienen puntos en común y tienen la misma dirección. Si L1 y L2 son rectas con pendientes M1 Y M2 son paralelas si M1=M2.
Para determinar si dos rectas con ecuaciones 3x +2y-1=0 y 3x + 2y +6=0 se despeja Y en las ecuaciones.
Y=-3/2x +1/2 m1= -3/2
Y=-3/2x-3 m2=-3/2
Las rectas no son coincidentes porque cortan el eje y en (0,1/2) y (0,3)
La ecuación se determina a partir de la pendiente de la recta y algunas condiciones.
Cuando se conoce la pendiente y el intercepto con el eje y:
La grafica de una función afín es una recta cuya pendiente es m y cuyo punto de intersección don el eje y es (0, b).
La función afín es creciente si m ˃0, decreciente si m˂0.
La ecuación y=mx+b se denomina ecuación canónica/explicita de la recta, en donde m es la pendiente y b es el valor donde la recta corta el eje y.
Ejemplo:
Representar esta ecuación gráficamente: y= -3/4+2
m= -3/4
b= 2
Ecuación de la recta cuando se conoce un punto y la pendiente:
Se puede denominar a través de un punto que pertenece a ella y su pendiente.
Si la recta pasa por el punto p(x₁, y₁), y su pendiente es m, entonces la ecuación se determina:
-Se toma Q(x, y) cualquier otro punto de la recta, tal que x ≠ x₁
entonces m = y-y₁/x-x₁, luego y-y₁=m(x-x₁).
Pendiente m que pasa por un punto: y - y₁=m(x - x₁)
Ejemplo:
m=2/3
Punto= (-1, 3)
Y – 3= 2/3(x-(-1)) = y-3= 2/3x + 2/3 = y= 2/3x + 2/3 + 3 = y=2/3 + 11/3
La ecuación de la recta: Y=2/3x + 11/3
Ecuación de la recta cuando se conocen dos puntos:
Por dos puntos pasa una única recta, determinar la ecuación por las coordenadas de los dos puntos P(x₁, y₁) y Q(x₂, y₂).
- Se halla la pendiente remplazando los puntos en la expresión m= y-y₁/x-x₁
- Luego se despeja y en la ecuación y – y₁ = m(x - x₁)
Ejemplo:
Puntos: P(-2, 3) y Q(1, 4)
m= 3-4/-2-1 = -1/-3 = 1/3
Se despeja y:
Y – 3=1/3(x – (-2))
Y= 1/3x + 2/3 + 3
Y= 1/3x + 11/3 ---- La ecuación de la recta que pasa por los puntos P(x₁,y₁) y Q(x₂, y₂).
Ecuación general de la recta
Es de la forma Ax + By + C = 0, donde A, B y C son números reales.
De la ecuación general se puede despejar y de tal manera que se puede determinar su ecuación explicita/canónica:
Ax + By + C = 0 ------- se despeja y
By= -Ax – C
Y= -Ax/B - C/B
Para la recta que tiene como ecuación Ax + By + C = 0, la pendiente es -Ax/B y él y-intercepto es -C/B.
Posiciones relativas de dos rectas en el plano
En el plano cartesiano dos rectas pueden ser coincidentes, paralelas, secantes o perpendiculares.
Rectas coincidentes:
Dos rectas con ecuaciones generales de Ax + By+ C= 0 y A’x + B’y + C’= 0 son coincidentes si los coeficientes de las rectas son proporcionales
A/A, B/B, C/C= k (constante)
Ejemplo: 2x + 3Y -6=0 Y 4x +6y -12=0
2/4, 3/6, 6/12
Rectas paralelas:
Dos rectas son paralelas si no tienen puntos en común y tienen la misma dirección. Si L1 y L2 son rectas con pendientes M1 Y M2 son paralelas si M1=M2.
Para determinar si dos rectas con ecuaciones 3x +2y-1=0 y 3x + 2y +6=0 se despeja Y en las ecuaciones.
Y=-3/2x +1/2 m1= -3/2
Y=-3/2x-3 m2=-3/2
Las rectas no son coincidentes porque cortan el eje y en (0,1/2) y (0,3)
Distancia entre dos puntos
P(x₁, y₁) y Q(x₂, y₂) del plano, se simboliza como d(P, Q) y esta determinada por la formula d(P,Q)=
Ejemplo:
P(1, 5) y Q(-3, 2) cual es la distancia? …… d(P, Q)= 5
d(P, Q)= √((-3-1)^2+(2-5)^2 ) = √25 = 5
Punto medio de un segmento
Las coordenadas del punto medio del segmento que une dos puntos P(x₁, y₁) y Q(x₂, y₂) son
Pendiente de una recta
La pendiente: expresión m, q pasa por los puntos P(x₁, y₁) y Q(x₂, y₂), se define como m:
Tan θ=----- Pendiente
La pendiente de la recta es igual a la tan de ángulo que la recta forma con el eje x; θ se conoce como el ángulo de la inclinación de la recta, de este modo es posible definir la pendiente a partir del ángulo de inclinación.
Ejemplo:
1.
Pendiente que pasa por los punto A(3, 2) y B(-4, -3)
m= -3-2
------- = 5/7
-4-3
Angulo de inclinación
Tan θ= m
Tan θ= 5/7= 0.012
2.
La recta pasa por (-4, 1) y (0, 3)
Pendiente?
m= 3-1
------ = 2/4 = 1/2
0-(-4)
P(x₁, y₁) y Q(x₂, y₂) del plano, se simboliza como d(P, Q) y esta determinada por la formula d(P,Q)=
Ejemplo:
P(1, 5) y Q(-3, 2) cual es la distancia? …… d(P, Q)= 5
d(P, Q)= √((-3-1)^2+(2-5)^2 ) = √25 = 5
Punto medio de un segmento
Las coordenadas del punto medio del segmento que une dos puntos P(x₁, y₁) y Q(x₂, y₂) son
Pendiente de una recta
La pendiente: expresión m, q pasa por los puntos P(x₁, y₁) y Q(x₂, y₂), se define como m:
Tan θ=
La pendiente de la recta es igual a la tan de ángulo que la recta forma con el eje x; θ se conoce como el ángulo de la inclinación de la recta, de este modo es posible definir la pendiente a partir del ángulo de inclinación.
Ejemplo:
1.
Pendiente que pasa por los punto A(3, 2) y B(-4, -3)
m= -3-2
------- = 5/7
-4-3
Angulo de inclinación
Tan θ= m
Tan θ= 5/7= 0.012
2.
La recta pasa por (-4, 1) y (0, 3)
Pendiente?
m= 3-1
------ = 2/4 = 1/2
0-(-4)
Geometría analítica
Es una parte de las matemáticas, que a través de un proceso en particular, establece la relación entre el álgebra y la geometría. Por lo tanto, una línea recta, un círculo o una figura pueden tener sus propiedades estudiadas por métodos algebraicos.
Lugar geométrico:
Conjunto de puntos que pertenecen al plano cartesiano y que cumplen una determinada característica geométrica común.
Para determinar la ecuación de un lugar geométrico, se expresa algebraicamente las propiedades de los puntos P(x, y) de ese lugar, mediante igualdades que relacionan las variables x Y y.
Ejemplo:
- El conjunto de puntos del plano cuya distancia al origen es 3 unidades: se construye el triangulo rectángulo OQP, luego se aplica el teorema de Pitágoras.
X²+Y²=3²
X²+Y²=9 --- Lugar geométrico
- El conjunto de puntos cuya coordenada es x es igual a su coordenada en y: para determinar la ecuación del lugar geométrico, se expresa en forma algebraica la relación entre las variables x es igual a y, entonces la ecuación del lugar geométrico es x=y.
Lugar geométrico:
Conjunto de puntos que pertenecen al plano cartesiano y que cumplen una determinada característica geométrica común.
Para determinar la ecuación de un lugar geométrico, se expresa algebraicamente las propiedades de los puntos P(x, y) de ese lugar, mediante igualdades que relacionan las variables x Y y.
Ejemplo:
- El conjunto de puntos del plano cuya distancia al origen es 3 unidades: se construye el triangulo rectángulo OQP, luego se aplica el teorema de Pitágoras.
X²+Y²=3²
X²+Y²=9 --- Lugar geométrico
- El conjunto de puntos cuya coordenada es x es igual a su coordenada en y: para determinar la ecuación del lugar geométrico, se expresa en forma algebraica la relación entre las variables x es igual a y, entonces la ecuación del lugar geométrico es x=y.
Introduccion
En este blog estudiaremos que es la geometria analitica y sus caracteristicas como la ecuacion de la recta y la recta. Les mostraremos videos, ejemplos y otras cosas para poder explicarles el tema de una manera mas facil pero a la vez completa.
Hipatía de Alejandría fue una filósofa y maestra neoplatónica griega, que se destacó en los campos de las matemáticas y la astronomía, miembro y líder de la Escuela neoplatónica de Alejandría a comienzos del siglo V. Seguidora de Plotino, cultivó los estudios lógicos y las ciencias exactas, llevando una vida ascética. Educó a una selecta escuela de aristócratas cristianos y paganos que ocuparon altos cargos.
Hipatía de Alejandría fue una filósofa y maestra neoplatónica griega, que se destacó en los campos de las matemáticas y la astronomía, miembro y líder de la Escuela neoplatónica de Alejandría a comienzos del siglo V. Seguidora de Plotino, cultivó los estudios lógicos y las ciencias exactas, llevando una vida ascética. Educó a una selecta escuela de aristócratas cristianos y paganos que ocuparon altos cargos.
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